La relation temps-fréquence
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[Page 2]
La relation Temps-Fréquence
Le cosinus
En transmission, nous utilisons beaucoup les signaux
sinusoïdaux :
A
s
s(t)=A.cos(2ft)
Temps
[Page 3]
T
A
Temps
-A
2
s(t) = A.cos(2 .f.t) = A.cos( .t)
T
T = Période (en seconde)
f = 1/T , Fréquence (en Hertz)
[Page 4]
s
Temps
T=1s
T = 20 ms
T = 10 s
T = 10 ns
T = 1 ns
f = 1 Hz
f = 50 Hz
f = 100 KHz
f = 100 MHz
f = 1 GHz
[Page 5]
Le cosinus et sa représentation en fréquence
Pour faciliter la représentation du cosinus (temporel),
on va le représenter dans un « espace » (diagramme)
fréquentiel.
Amplitude
Fréquence
[Page 6]
T
Fréquence : f=1/T
A
Temps
-A
Amplitude
A/2
-f
f
Fréquence
[Page 7]
Exemple:
s(t)=10.cos(2100.t) + 20.cos(2200.t) + 30.cos(2400.t)
S(f)
Amplitude
15
10
5
-400
-200
-100
100
200
400
Fréquence
Remarque : Les fréquences négatives (-f), n ’ont aucune réalité physique, elles
sont la conséquence de la transformation mathématique « temps-fréquence »
que nous expliquerons plus tard.
[Page 8]
Autre exemple: s(t)=20.cos(2100.t) - 20.cos(2200.t) + 10.cos(2300.t)
S(f)
Amplitude
10
5
-300 -200
-100
100
200
300
Fréquence
Les signes n’apparaissent pas car il s’agit d’un spectre d’amplitude,
ils seront indiqués dans le spectre de phase.
[Page 9]
Définir cette raie mathématiquement
Nommons « A.(f) », un « bâton » d ’amplitude A positionné sur
le point tel que le paramètre dans la (parenthèse) soit nul.
Amplitude
A
A.(f)
0
Fréquence
[Page 10]
Poursuivons notre théorie
A
A.(f)
A.(f-fo)
0
A
0
A
A.(f+fo)
f
fo
f
-fo 0
-A.(f-fo)
f
fo
-A
0
f
[Page 11]
Exemple
S(f)=5(f)+10(f-50)+10(f-100)+5(f+100)
10
5
f
-100Hz
0Hz
50Hz
100Hz
[Page 12]
Le cosinus et le Delta
Reprenons un exemple précédent :
s(t)=10.cos(2100.t) + 20.cos(2200.t) + 30.cos(2400.t)
Amplitude
15
10
5
-400
-200
-100
100
200
400
Fréquence
S(f)=15.(f+400)+10.(f+200)+5.(f+100)+15.(f-400)+10.(f-200)+5.(f-100)
[Page 13]
un exemple plus simple :
s(t)=20.cos(21000.t)
Amplitude
10
-1000
+1000
Fréquence
S(f)=10.(f+1000)+10.(f-1000)
[Page 14]
Un peu de maths :
La fonction (.) s'appelle la fonction de Dirac.
C'est une notion mathématique complexe issue de la théorie
des "distributions".
+
1
(x)
0
x
(
x
)
dx
=
1
−
[Page 15]
un exercice :
Le DTMF (Dual Tone Multi Frequency ou "Fréquences Vocales") est un procédé de
numérotation qui génère des sonorités codées.
Fréq. DTMF
697 Hz
770 Hz
852 Hz
941 Hz
1209 Hz
1336 Hz
1477 Hz
1
4
7
*
2
5
8
0
3
6
9
#
1633 Hz
A
B
C
D
A chaque touche sur le clavier correspond l ’addition de deux oscillateurs
sinusoïdaux : A.cos(2ft) appartenant l'un aux colonnes et l'autre aux lignes.
Ces paires de fréquences sont normalisées au plan international.
Déterminer l’équation temporelle du signal correspondant à la touche “ 6 ”.
Déterminer ensuite la représentation fréquentielle puis l ’équation fréquentielle
[Page 16]
La correction :
Déterminer l’équation temporelle du signal correspondant à la touche “ 6 ”.
s(t)=A.cos(2770.t) + A.cos(21477.t)
Déterminer ensuite la représentation fréquentielle
A/2
-1477
-770
Amplitude
+770
+1477
Fréquence
puis l ’équation fréquentielle
S(f)=A/2.[(f+1477)+(f+770)+(f-1477)+(f-770)]
[Page 17]
La Transformée de FOURIER
Expression mathématique
La transformée de Fourier est l ’opération mathématique qui va
nous permettre de passer de l ’espace Temps (t) à l ’espace
fréquence (f). Ceci pour n’importe quel signal.
S(f)
s(t)
temps
fréquences
[Page 18]
S(f)
s(t)
temps
+
S(f) = s(t).e
−
fréquences
−i.2 . f . t
.dt
[Page 19]
Exemples
1 - La transformée de Fourier d ’un cosinus : s(t)=A.cos(2.fo.t)
+
S(f) = A.cos(2f 0 t).e −i.2 .f .t .dt =
−
A
(f + f 0 ) + (f − f 0 )
2
La représentation SPECTRALE est la représentation de |S(f)|
dans l ’espace fréquentiel (amplitude-fréquence).
|S(f)|
A/2
-fo
fo
Fréquence
[Page 20]
2-Autre exemple :
A
-a/2
a/2
t
s(t)=A pour -a/2 t a/2 sinon s(t)=0
+
+a / 2
i 2 πfa
i 2 πfa
−
+
−
A
2
−i 2 πft
−i 2 πft
2
S(f) = s(t)e dt = A.e dt =
e
−
e
i
2
πf
−
−a / 2
e − e
sin( x) =
+ ix
− ix
2i
A
S(f) =
sin( π.f.a )
π.f
[Page 21]
Si l’on pose : sinc(x) = sin(x)
x
A
S(f) =
sin( π.f.a ) = A.a.sinc( π.f.a )
π.f
représentation SPECTRALE :
|amplitude|
A.a
fréquence
-2/a
-1/a
1/a
2/a
[Page 22]
3 - Encore un exemple :
Transformée de Fourier d'une impulsion temporelle:
+
S(f) = A. (t)e
−
A
s(t)=A.(t)
0
t
-i2ft
+
dt = A. (t)dt = A
A
−
f
[Page 23]
Les propriétés de la transformée de Fourier
Espace temporel
Espace fréquentiel
a.s1(t)+b.s2(t)
a.S1(f)+b.S2(f)
s(t-to)
s(t).e-i2fot
ds(t)/dt
S(f).e-i2fto
S(f-fo)
2if.S(f)
[Page 24]
Tableau de transformées classiques
A
-a/2 a/2
t
A
-a
a
t
f
sin( . fa )
S( f ) = A
= A.a sinc( . fa )
. f
f
S ( f ) = A.a. sinc ( . fa)
2
A
s(t)=A
t
S ( f ) = A. ( f )
f
[Page 25]
1
s(t)=(t)
t
t
s(t)=A.cos(2fot)
t
s(t)=A.sin(2fot)
S(f )=
1
1
(f )+
2
2if
f
f
A
S ( f ) = ( f − fo) + ( f + fo)
2
f
A
S ( f ) = ( f − fo) − ( f + fo)
2i
[Page 26]
Exemples
1- Transformée de s(t)=3+3cos(2fot)+5cos(8 fot)
3
5
S(f) = 3 ( f ) + (f − fo) + (f + fo) + (f − 4fo) + (f + 4fo)
2
2
3
5/2
3/2
-4fo
-fo fo
4fo
f
[Page 27]
1/a
a
2- Transformée de
t
-a
-1/a
1/a
=
-a/2
S(f)= sinc(fa ).e
2 if
a
2
a/2
+
− sinc(fa ).e
2i
S( f ) =
sin 2 (fa )
fa
a
-1/a
− 2 if
a
2
[Page 28]
3- Transformée de
1
-5
=
1
-5
-
1
t
5
=
t
5
1
t
-5
1
S(f )= (f )
t
5
f
S ( f ) = 5. sinc ( . f 5)
2
f
[Page 29]
Spectre des signaux déterministes périodiques
A
-a/2 a/2 To
t
+
f
a
S ( f ) = A. sinc(fa) ( f − nfo)
To
−
A
-a
a
To
t
f
+
a
S ( f ) = A. sinc 2 (fa) ( f − nfo)
To
−
[Page 30]
On remarque que les signaux périodiques ont un "spectre
de raies " alors que les signaux impulsionnels ont un
spectre continu.
1
-a/2 a/2
TF
t
f
S ( f ) = a.
sin( . fa)
= a. sinc( . fa)
. fa
S( f ) =
+
a
sinc(fa ) ( f − nfo)
To
−
TF
-a/2 a/2 To
t
f
[Page 31]
Exemple :
Am=5v, Fo=1KHz
[Page 32]
Spectre de signaux aléatoires. Exemples :
Signal musical
f
0
20KHz
Signal vidéo
0
6MHz
f
[Page 33]
Périodiser un signal
Remarquer le résultat d’une impulsion :
A
t
-a/2 a/2
f
sin( . fa )
S( f ) = A
= A.a sinc( . fa )
. f
Et celui de cette même impulsion mais « périodique » sur T0
A
-a/2 a/2 To
t
+
f
a
S ( f ) = A. sinc(fa) ( f − nfo)
To
−
[Page 34]
Périodiser un signal
On peut en déduire que le résultat d’un signal impulsionel peut être
périodiser sur T0 en multipliant sa transformée de Fourier :
S ( f per ) =
S ( f imp ) +
( f − nfo)
To
−
[Page 35]
Décomposition en série de Fourier
On peut connaître l’occupation d’un signal périodique en
appliquant la décomposition en série de Fourier.
Tous les signaux périodiques peuvent s’écrire sous cette forme :
s(t ) = a0 + (an cos nt + bn sin nt )
n =1
avec a0 =
1
s(t ) dt
T0 T0
valeur moyenne
2
et an = T s(t ) cos ntdt
0 T0
bn =
2
s(t ) sin ntdt
T0 T0
[Page 36]
Propriété
•si le signal est pair – s(t)=s(-t) symétrie par rapport à
l’axe 0x – alors on a une série de cosinus : les bn sont nuls.
•si le signal est impair – s(t)=-s(-t) symétrie par rapport
au point d’origine 0 – alors on a une série de sinus : les an
sont nuls.
Les coefficients sont alors plus simples à calculer :
4
an =
s(t ) cos ntdt
T0 T0
2
4
bn =
s(t ) sin ntdt
T0 T0
2
[Page 37]
TEST
•
•
Pour un amplificateur linéaire, la tension de sortie s(t)= A.[e(t)].
A est le coefficient d’amplification. Un amplificateur linéaire est mis
en défaut lorsque l’amplitude du signal d’entrée est trop élevée.
Dans ce cas, il se comporte de façon non linéaire et fournie une
tension de sortie qui suit la relation suivante :
s(t)= A.[e(t)]+B[e(t)]2.
On donne A=10, B=1.
Déterminer, dans le cas ou l’amplificateur se comporte de façon
non linéaire, l’équation fréquentielle S(f) de la sortie s(t) si :
e(t) =5.cos (2pi.f0t).
Dessiner le spectre de s(t).